PENGOPERASIAN POLINOMIAL
Seperti pada persamaan linear atau
persamaan lainnya, polinom juga dapat dioperasikan secara aljabar. Operasi
polinom meliputi penjumlahan, pengurangan, pembagian (akan dibahas tersendiri),
dan perkalian. Cara melakukan operasi hitung pada suku banyak sama saja dengan operasi hitung seperti biasa. Hanya saja, operasi
hitungnya memperlakukan koefisien yang memiliki nilai variabel sama. Sedangkan
cara menghitungnya sama seperti dengan menghitung biasa.
PENJUMLAHAN
Contoh soal
f(x) = 3x³ + 2x² – 5x
+ 2
g(x) = 2x³ + 3x – 5 maka f(x) + g(x) adalah :
f(x) + g(x) = (3x³ + 2x² – 5x + 2) + (2x³ + 3x –
5)
= 3x³ + 2x² – 5x
+ 2 + 2x³ + 3x – 5 *keluarkan yang ada didalam kurung
= 3x³ + 2x³ +2x²
– 5x + 3x +2 – 5 *susun dari pangkat tertinggi hingga
terendah
= 5x³ + 2x² – 2x
– 3
PENGURANGAN
Contoh soal
f(x) = 3x³ + 2x² – 5x
+ 2
g(x) = 2x³ + 3x – 5 maka f(x) - g(x) adalah :
= 3x³ + 2x² – 5x
+ 2 - 2x³ - 3x + 5 *keluarkan yang ada didalam kurung
= 3x³ - 2x³ +2x²
– 5x - 3x +2 + 5 *susun dari pangkat tertinggi hingga
terendah
= x³ + 2x² – 8x
+ 7
PERKALIAN
Contoh soal
f(x) = 3x³ + 2x² – 5x
+ 2
g(x) = 2x³ + 3x – 5 maka f(x).g(x) adalah :
f(x). g(x) = (3x³ + 2x² – 5x + 2) (2x³ + 3x
– 5)
= 6x⁶ +9x⁴ -15x³ + 4x⁵ + 6x³ - 10x² - 10x⁴ - 15x² + 25x + 4x³ + 6x – 10
**Susun dari pangkat tertinggi
=
6x⁶ + 4x⁵ + 9x⁴ - 10x⁴ - 15x³ + 6x³ + 4x³ -
10x² - 15x² + 25x + 6x – 10
**Operasikan koefisien
=6x⁶ + 4x⁵ - x⁴ - 5x³ - 25x² + 31x – 10
PEMBAGIAN
ALGORITMA PEMBAGIAN
Algoritma pembagian dari polinomial
memiliki bentuk persamaan sebagai berikut :
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
|
Keterangan :
f(x) = fungsi
polinomial h(x)
= Hasil bagi polinomial
p(x) = Pembagi
polinomial s(x)
= Sisa Bagi Polinomial
Untuk mengetahui algoritma pembagian ,
dapat digunakan 2 cara yaitu denga cara HORNER
dan BERSUSUN.
Contoh soal :
1.
x⁴ – 2x² + x – 5 : x – 2
**menggunakan cara
horner
(pembagi f(x) adalah
x-2, buat x-2 menjadi sama dengan 0 untuk mendapat nilai x , sehingga x – 2= 0 → x = 2)
1
|
0
|
-2
|
1
|
-5
|
||
2
|
2
|
4
|
4
|
10
|
||
1
|
2
|
2
|
5
|
5
|
||
Hasil .. x³ +
2x² + 2x + 5
|
sisa
|
|||||
Sehingga algoritma pembagiannya
adalah
x⁴ – 2x² + x – 5 = (x –
2)( x³ + 2x² + 2x + 5) + 5
**menggunakan cara
bersusun
 |
Sehingga algoritma
pembagiannya adalah
x⁴ – 2x² + x – 5 = (x –
2)( x³ + 2x² + 2x + 5) + 5
2.
2x³ + 3x² + 4x – 1 : x
– 1
**menggunakan cara horner
2
|
3
|
4
|
-1
|
|
1
|
2
|
5
|
9
|
|
2
|
5
|
9
|
8 sisa
|
|
Hasil .. 2x² + 5x + 9
|
||||
Sehingga algoritma pembagiannya adalah
2x³ + 3x² + 4x – 1 =
(x – 1)( 2x² + 5x + 9) + 8
**menggunakan cara bersusun
2x³ + 3x² + 4x – 1 =
(x – 1)( 2x² + 5x + 9) + 8
TEOREMA SISA
·
Teorema 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x- k ), maka
akan bersisa f(k). Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai berikut
f(x)
_ bersisa f(k)
(x-k)
|
Contoh soal
1.
Tentukan nilai sisa dari pembagian
polinomial x³ – 2x² + 3x -1 dibagi x – 2
PEMBAHASAN
**menggunakan sifat
f(x) = x³ – 2x² + 3x -1
f(k) = k³ – 2k² + 3k -1
f(2) = 2³ – 2 x 2² + 3.2 -1
f(2) = 8 – 8 + 6 – 1
f(2) = 5
**menggunakan Horner
1
|
-2
|
3
|
-1
|
|
2
|
2
|
0
|
6
|
|
1
|
0
|
3
|
5 sisa
|
|
**menggunakan cara bersusun
x² + 3
x – 2 / x³ – 2x² + 3x -1
x³ - 2x²
3x – 1
3x – 6
5 sisa
·
Teorema 2
Jika suku banyak f(x) dibagi ax – b maka akan bersisa f(b/a),
atau dapat dinyatakan dalam
f(x)
_ akan bersisa f(b/a)
ax – b
|
Contoh soal
2.
Tentukan nilai sisa dari pembagian
polinomial x³ – 2x² + 3x -1 dibagi 2x – 1
PEMBAHASAN
**menggunakan sifat
f(x) = x³ – 2x² + 3x – 1
f(b/a) = (b/a)³ – 2(b/a)² + 3(b/a) – 1
f(1/2) = (1/2)³ – 2(1/2)² + 3(1/2) – 1
f(1/2) = 1/8 – 1/2 + 3/2 – 1
f(1/2) = 1/8
**menggunakan Horner
1
|
-2
|
3
|
-1
|
|
½
|
½
|
-3/4
|
9/8
|
|
1
|
-3/2
|
9/4
|
1/8 sisa
|
|
**menggunakan cara bersusun
1/2x² - ¾ x + 9/8
2x – 1 / x³ – 2x ² + 3x -1
x³ - 1/2x²
-3/2x² + 3x – 1
3/2 x² + ¾ x
9/4 x – 1
9/4
x – 9/8
1/8 sisa
·
Teorema 3
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x –
a)(x – b) maka sisanya adalah p(x)+ q dengan f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) +
q
Contoh soal
3.
Tentukan nilai sisa dari pembagian
polinomial x³ - 2x² + x + 1 : x² - 3x + 2
PEMBAHASAN
*faktorkan x² - 3x + 2 sehingga menjadi → (x – 1)(x – 2 )
Sehingga didapat nilai a = 1 dan b = 2
*Menggunakan sifat
1. mencari nilai f(a) dan f(b)
f(x) = x³ - 2x² + x + 1
f(a) = a³ - 2a² + a + 1
f(1) = 1³ - 2(1)² + 1 + 1
f(1) = 1 – 2 + 1 + 1
f(1) = 1
|
f(x) = x³ - 2x² + x + 1
f(b) = b³ - 2b² + b + 1
f(2) = 2³ - 2(2)² + 2 + 1
f(2) = 8 - 2(4) + 2 + 1
f(2) = 8 – 8 + 2 + 1
f(2) = 3
|
*masukkan nilai a dan b kedalam sifat
f(a) = p(a) + q
f(1) = p(1) + q
f(1) = p + q ...... (1)
|
f(b) = p(b) + q
f(2) = p(2) + q
f(2) = 2p + q .......(2)
|
Subsitusikan persamaan (1) dan (2)
p+q = 1 → q = 1 - p
2p+q = 3
2p + (1 – p ) = 3
2p + 1 – p = 3
p = 3 – 1
p = 2
|
q = 1 – p
q = 1 – 2
q = -1
|
Maka sisa pembagiannya adalah px + q atau 2x -1
**menggunakan cara bersusun
x + 1
x² - 3x + 2/
x³ - 2x² + x + 1
x³ - 3x² + 2x
x² - x + 1
x² – 3x + 2
2x - 1 sisa
TEOREMA FAKTOR
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan bersisa nol , maka itulah
faktornya
 f(x) = p(x)h(x) + s(x) →s(x) = 0 |
Contoh soal
Pemfaktoran dari x³ + x² - 9x – 9
PEMBAHASAN
**Cara Horner
1
|
1
|
-9
|
-9
|
Cari
faktor dari 9 untuk mendapat nilai k
|
|
3
|
3
|
12
|
9
|
Faktor
9 adalah 1,3,9
|
|
X=3
Maka (x-3)
|
1
|
4
|
3
|
0
|
Sisa
dari polinomial ini adalah 0
|
Hasil x²
+ 4x + 3
|
yang
harus diperhatikan dalam teorema ini kita harus mencoba substitusikan setiap
faktor dari 9 kedalam nilai k
|
||||
Hasil x² +
4x + 3 kita faktorkan lagi menjadi (x + 3)(x + 1)
Sehingga
didapat algoritma nya adalah
x³ + x² - 9x – 9 = (x-3) (x + 3)(x + 1)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar